Raisonnement de base.
Si
et
alors c divise toute combinaison linéaire de a et b.
En arithmétique on utilise assez souvent le fait que si
est un diviseur commun à deux entiers
et
alors il divise une combinaison linéaire de
et
que l'on aura choisie pour qu'elle puisse répondre efficacement à notre problème.
Question
Démontrer que deux entiers consécutifs sont premiers entre eux.
Deux nombres entiers sont premiers entre eux s'ils n'ont que
et
comme diviseurs communs.
Des nombres consécutifs se notent : par exemple
et
.
Notons
un diviseur commun à
et
et montrons que ce ne peut être que
ou
.
Si
et
alors il divise
.
Une solution.
Notons
et
deux entiers consécutifs pour
.
Soit
un diviseur de
et
, il divise donc leur différence
;
Donc
, or les seuls diviseurs de
sont
et
.
Il vient donc que
ou
.
Deux entiers consécutifs sont donc bien premiers entre eux.
