Divisibilité dans l'ensemble des entiers relatifs.
L'ensemble des entiers naturels se note :
L'ensemble des entiers relatifs se note :
Définition : Définition 1
Soient
et
deux entiers relatifs non nuls.
Si il existe un entier relatif
non nul tel que
, on dit alors que :
-
est un multiple de
.
-
est un diviseur de
.
-
divise
et cela se note :
.
Exemple :
est multiple de
.
divise
.
Les diviseurs de
sont
Les diviseurs de
sont
Leurs diviseurs communs sont :
Remarque : Quelques remarques utiles.
est multiple de tout entier.-
ne divise aucun entier et n'a qu'un seul multiple (lui-même).
Tout entier admet un nombre fini de diviseurs.
Tout entier admet une infinité de multiples.
Définition : Nombres premiers entre eux.
Deux entiers sont dits premiers entre eux si et seulement si leurs seuls diviseurs communs sont
et
.
Ainsi
et
ne sont pas premiers entre eux.
Méthode : Divisons...
Comment déterminer les entiers naturels
( s'ils existent ) pour lesquels le nombre
est un entier naturel ?
Une division "à la main" nous permet d'écrire que :
Pour obtenir un entier il faut donc que
Soit que :
C'est-à-dire que :
Soit
Donc le seul entier naturel
|  Division |
Si maintenant on recherche les entiers relatifs
pour lesquels la fraction
est entière et à condition que
, il y a quatre solutions possibles
,
,
et
.
En effet, les diviseurs de
sont
.
Exemple : Même problème avec :
.
.
.
.Un peu plus compliqué :
.
Méthode : Factorisons...
Comment déterminer les couples
pour lesquels :
?
Cette égalité équivaut à :
.
Comme
;
On obtient
systèmes :
qui donne par addition :
ce qui n'admet pas de solutions dans
.
dont la solution est le couple
.
impossible dans
.
impossible dans
.
impossible dans
.
impossible dans
.
L'unique couple solution est donc
.
Qu'en est-il dans
?
Exemple : Même questions avec :
.
.
.
Fondamental : Propriétés
Propriété 1 :
,
et
trois entiers relatifs avec
et
non nuls.
Si
et
alors
.
Preuve :
Si
alors
tel que
.
De même
tel que
.
Et en substituant
on obtient :
ce qui est entraîne bien que
___________________________________________________________
Propriété 2 :
,
et
trois entiers relatifs avec
non nul.
Si
et
alors
et
.
Preuve :
Si
alors
tel que
.
De même
tel que
.
On a alors :
Et donc :
;
C'est le même raisonnement pour
.
____________________________________________________________
Propriété 3 :
C'est une généralisation de la précédente. Si
et
alors
divise toute combinaison linéaire de
et
.
Soit
pour tout couple
.
Preuve :
On pratique comme précédemment. ( c'est un bon entraînement de le faire ).
