La division Euclidienne.
La division Euclidienne dans l'ensemble des entiers naturels
 La division | Une fois la division effectuée on peut écrire que :
|
Fondamental : Théorème
Soient
et
deux entiers naturels avec
, il existe un unique couple
d'entiers naturels tels que
avec
.
Preuve : Existence.
cas :
, le couple
convient .
cas :
:
Considérons
l'ensemble des multiples de
.
, Cet ensemble est infini.
Et comme
,
pour lequel
.
On pose
, et on a bien :
avec
.
Preuve : Unicité.
Supposons l'existence de deux couples
et
tels que :
.
En égalisant ces deux écritures de
, on obtient :
, ce qui entraîne que
est un multiple de
.
En additionnant les deux inégalités membre à membre :
.
On obtient :
, donc
est un multiple de
plus petit que
, ce ne peut être que
D'où
soit
.
Ce qui entraîne bien évidemment que
.
Et finalement l'unicité du couple
.
Exemple :
est bien une division Euclidienne.
n'est pas une division Euclidienne.
la division Euclidienne dans l'ensemble des entiers relatifs.
Soient
et
deux entiers relatifs avec
, il existe un unique couple
d'entiers tels que
avec
.
( division de
par
)
( division de
par
)
( division de
par
)
Fondamental : Divisibilité
Soient
et
deux entiers tels que
avec
, alors
.
