Les booléens

Qu'est-ce qu'un booléen ?

C'est une variable qui ne peux prendre que deux valeurs : VRAI ou FAUX

George Boole (1815-1864) est un logicien, mathématicien., philosophe britannique. Il est le créateur de la logique moderne, fondée sur une structure algébrique et sémantique, que l'on appelle aujourd'hui algèbre de Boole.

On associe 0 à Faux et 1 à Vrai.

Opérateurs de comparaisons

Prenons l'exemple suivant : x= 23 et y = 15

Les opérateurs de comparaisons usuels

Opérateur

Expression

Signification

Valeur

==

x==y

Égal

0(Faux)

!=

x !=y

Non égal

1(Vrai)

>

x>y

Plus grand que

1

<

x<y

Plus petit que

0

>=

x>=y

Plus grand ou égal

1

<=

x<=y

Plus petit ou égal

0

Les opérateurs booléens

Il existe des opérations spécifiques pour les booléens : La négation, la conjonction et la disjonction que l'on appelle aussi le NON, le ET et le OU logiques

MéthodeLe NON logique

Le NON logique d'un booléen a se définit par :

NON a vaut VRAI si et seulement si a vaut FAUX

On peut définir cet opérateur pas sa table de vérité :

Table de vérité de l'opérateur NON

a

NON a

0

1

1

0

MéthodeLe ET logique

Le ET logique entre deux booléens a et b se définit par :

a ET b vaut vrai si et seulement si a vaut VRAI et b vaut VRAI

On peut définir cet opérateur par sa table de vérité :

Table de vérité de l'opérateur ET

a

b

a ET b

0

0

0

0

1

0

1

0

0

1

1

1

Application :

Dans le programme ci-dessous l'instruction ne sera exécutée que si les deux conditions sont vraies

1
if condition1  AND condition2 :
2
       instruction

MéthodeLe OU logique

Le OU logique entre deux booléens a et b se définit par :

a OU b est VRAI si et seulement si a vaut vrai ou b vaut VRAI

On peut définir cet opérateur par sa table de vérité :

Table de vérité de l'opérateur OU

a

b

a OU b

0

0

0

0

1

1

1

0

1

1

1

1

Application :

Dans le programme ci-dessous l'instruction ne sera exécutée que si l'une au moins des deux conditions est vraie

1
if condition1  OR condition2 :
2
       instruction

ComplémentUn peu d'algèbre...

Combinons un peu ces opérateurs :

Écrivons la table de vérité de : (NON a) ET (NON b)

a

b

NON a

NON b

(NON a) ET (NON b)

0

0

1

1

1

0

1

1

0

0

1

0

0

1

0

1

1

0

0

0

Rajoutons deux colonnes : NON(( NON a) ET (NON b)) et a OU b

a

b

NON a

NON b

(NON a) ET (NON b)

NON((NON a) ET (NON b))

a OU b

0

0

1

1

1

0

0

0

1

1

0

0

1

1

1

0

0

1

0

1

1

1

1

0

0

0

1

1

On vient de montrer que : a OU b = NON(( NON a) ET (NON b))

Ce qui est équivalent à : NON ( a OU b) = (NON a) ET ( NON b)

Il y a également un parallèle entre ces opérateurs et les opérateurs ensemblistes (NON) , (ET) et (OU)

La formule que nous venons de montrer s'écrit alors : (1ère loi de Morgan).

Et comme , on a :

ComplémentL'opérateur XOR

a XOR b est VRAI si et seulement si a est VRAI et b est FAUX ou si a est FAUX et b est VRAI

C'est l'opérateur OU- Exclusif, dont la table de vérité est :

On montre que : a XOR b = (a ET (NON b)) OU ((NON a) ET b)

Table de vérité de l'opérateur XOR

a

b

a XOR b

0

0

0

0

1

1

1

0

1

1

1

0

ImprimerImprimer